iOS10ならiPhoneやiPadのシャッター音やスクショ音が消せるようです！実際にiOS10がインストールされているiPhone6とiPad mini2で試したら、両方とも音がしなくなりました！
おそらく、不具合によるモノだと思われますが、かなり快適なのでやり方を残しておきます。
（iOSのアップデートで元に戻りそうな予感はしますね）
シャッター音＆スクショ音を消す手順
［設定］→［一般］と順にタップ。
さらに、［アクセシビリティ］→［AssistiveTouch］とタップ。
［AssistiveTouch］を有効にして、［最上位メニューをカスタマイズ…］をタップします。すると、メニューのカスタマイズ画面が表示されますので、［-］ボタンを数回押してボタンの数を一つにします。
ボタンの数が一つになったら、そのボタンをタップし、［消音］→［完了］の順に押します。
これで、「シャッター音」と「スクショ音」を消す準備が整いました。それでは、戻るボタンで前の画面に戻ります。
では最後に、AssistiveTouchのボタン（黒いボタン）をタップして「消音」にします。これで、スクリーンショットを撮っても、iPhone純正のカメラアプリで写真を撮っても音がしなくなります！スゴイ！ちなみに、AssistiveTouchをもう一度タップすると元の音量に戻り音がするようになります。音を消したい場合は必ず「消音」にしておきましょう。
ちなみに、一度「消音」にすればボタンは消してもOK。ただ、消音を解除してしまった場合は、同じ手順で消音にする必要があります。
今回は、こちらの記事を参考にさせていただきました。
→ 「iPhone 7」のシャッター音/スクショ音を消す裏技が便利【設定方法】 | gori.me（ゴリミー）
iOSのアップデートがあっても、このままだと嬉しいんですけどねぇ。たぶん元に戻るんだと思います。泣